Question

数学分析中证明极限，这个等式是怎么来的呢？

Answer 1

那个不等式是由数列极限的定义得出的，xn的子列xnk收敛，根据定义有|xnk-a|<ε，因此
-ε<xnk-a<ε，而证明中假设xn是单增的，当然xnk也单增，所以xnk≤a，这就得到了那个不等式。
至于第二个问题可以用反证法来直观说明一下，假设极限a不是上确界，那么a和上确界s比不是太小就是太大了，如果a>s，即存在xk>a，由于xn单增，xk后面的那些项也必然大于a，这样数列就不会满足从某项后和a的差可以无限小了，也就和limxn=a矛盾，同理，如果a<s，xn同样不能满足某项后和a的差无限小。