Question

这个题用极坐标好像算不出来，请帮忙算一下。还有直角坐标换极坐标时有什么限制条件？

Answer 1

分享一种解法。∵y=x²与x²+y²=2的交点为(-1,1)、(1,1)，∴-1≤x≤1，x²≤y≤√(2-x²)。
∴原式=∫(-1,1)dx∫(x²,√(2-x²))(x²+xy)dy。
而，∫(x²,√(2-x²))(x²+xy)dy=x²√(2-x²)+(x/2)(2-x²)-x^4-(1/2)x^5。其中，x²√(2-x²)-x^4和(x/2)(2-x²)-(1/2)x^5分别是偶函数、奇函数，x的积分区间对称，根据定积分的性质，
∴原式=2∫(0,1)[x²√(2-x²)-x^4]dx=2∫(0,1)x²√(2-x²)dx-2/5。
对∫(0,1)x²√(2-x²)dx，令x=(√2)sinα，∫(0,1)x²√(2-x²)dx=π/8，∴原式=π/4-2/5。
供参考。

追问

我说用极坐标…现在懂了，不过还是谢谢你了

追答

用极坐标也可以，但比用直角坐标系下求解更“繁琐”。没有限制条件，只是“解决问题”时哪个更方便而已。