Question

高数中的高斯公式问题

高斯公式中的 aP/ax+aQ/ay+aR/az 中复合函数求导，比如aP/ax是P对x求导并且将y z视为常数，还是在E曲面中根据y z相对x的关系还要将y 和 z对x求导？

按书上的例题和自己做的练习看来貌似是将y z视为常数，但是有如下题目。

计算∯(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x^2+y^2+z^2)^3/2
其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧

如果P=x/(x^2+y^2+z^2)^3/2
那么P对x 求导是 y^2+z^2-2x^2/(x^2+y^2+z^2)^5/2
aP/ax+aQ/ay+aR/az为0
最终结果和答案不符

如果P=x/a^3
求导结果是1/a^3
aP/ax+aQ/ay+aR/az为3/a^3
最终结果和答案一样是4pai

第一种设法是将yz视为常数，第二种是将yz视为和x有关的量。

到底高斯中的公式究竟是怎么求导？

Answer 1

其中的P是dydz前面的部分，就是P=x/(x^2+y^2+z^2)^3/2,你这个问题属于偏导数求导问题，当求导为af/ax时，x,y,z为平等变量，无需将y,z视为与x有关的变量；但当求导为aP/ax时，需将y,z视为x的函数，即与x有关，此时x,y,z不平等，并且如果题中说确定z=f(x,y)的话，只把z看做x的函数，此时y为变量。
此问题在同济第六版中有详细区别，在求偏导数的后面部分，你可自己查之。

Answer 2

高斯公式应用的前提条件是：函数在体积分域内具有一阶连续偏导数。本题中函数 f(x,y,z)在(0,0,0)点处不可微，不满足高斯公式条件。但在面上积分时，可以考虑消去不可微因素，即在面积分域常数代换，然后再用高斯公式求解。可以了。之前回答错了，不好意思。