Question

用高斯公式求。

后面还有 x^2/a^2 + y^2/b^2 +c^2=1 (z>=0)取上侧

Answer 1

好久没做过这种题了, 没想到什么好办法, 就硬算了.
先求在平面z = 0上, 椭圆x²/a²+y²/b² = 1内部的积分, 法向量取上方即(0,0,1).
易知其为∫{x²/a²+y²/b² ≤ 1} -x²dxdy = ∫{-a,a} -2bx²√(1-x²/a²)dx
= -2a³b·∫{-π/2,π/2} sin²(t)cos²(t)dt (换元x = a·sin(t))
= -a³b/4·∫{-π/2,π/2} 1-cos(4t) dt
= -πa³b/4.

由Gauss公式, 所求积分与上述积分之差(即在上半椭球表面上的积分)
= ∫{x²/a²+y²/b²+z² ≤ 1, z ≥ 0} (2x+2y+2z)dxdydz
= ∫{x²/a²+y²/b²+z² ≤ 1, z ≥ 0} 2zdxdydz (关于x, y是奇函数, 且积分区域对称)
= ∫{0,1} 2z·πab(1-z²)dz
= πab/2.
于是所求积分得πab/2-πa³b/4 = πab(2-a²)/4.

计算生疏, 仅供参考吧.