Question

问复变函数解析对积分的作用？

复变函数中，如果一个函数在单连通区域D内解析，那么就可以有原函数，积分与路径无关。假定f(z)在|z-zo|=r>ro的范围内解析，其模的最大值函数M(r)满足lim rM(r)→0（r→∞），那么对于圆|z-zo|=r上的f(z)的积分也为0。
以上是书上的定理，但是我所疑问的是，函数解析在这种证明中起到的作用是什么？究竟是哪一步中函数解析这一条件发挥了作用，或者说，函数解析在证明过程中允许了怎样的计算？

Answer 1

首先，你要明白什么叫解析。
如果存在Z0的一个领域，使函数w=f(z)在z0及其领域内处处可导，则称f(z)在z0处解析。
对于这样一个导数处处存在的函数，那么他是必定可积的。如果不解析，那么不能保证在这个联通域内处处可导。那么那些不可导点看起来就像一个个的点洞。当点洞无穷多时，就会将联通域变成非联通域，那么就会导致无法对其进行积分。
也就是说在单联通域内解析，保证了函数可积。