已知函数f（x）=ln（x+1）－x+ax²
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证明：
f'(x)=[1/(x+1)]-1+2ax
a=1/2时,
f'(x)=[1/(x+1)]-1+x=(1-x-1+x²+2x+1)/(x+1)
=(x²+x+1)/(x+1)
当x>=0时,x²+x+1>=1>0,x+1>=1>0
故此时f(x)>0对于x>0恒成立,f(x)在x>=0时单调递增。
由于x>=0,所以f(x)>=f(0)=ln(1)-0+0=0.
即f(x)>=0
(x>=0)。证毕。
f'(x)=[1/(x+1)]-1+2ax
a=1/2时,
f'(x)=[1/(x+1)]-1+x=(1-x-1+x²+2x+1)/(x+1)
=(x²+x+1)/(x+1)
当x>=0时,x²+x+1>=1>0,x+1>=1>0
故此时f(x)>0对于x>0恒成立,f(x)在x>=0时单调递增。
由于x>=0,所以f(x)>=f(0)=ln(1)-0+0=0.
即f(x)>=0
(x>=0)。证毕。
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2024-10-13 广告
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