Question

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax/(x+1)(a∈R)

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax/(x+1)(a∈R)
(1)当a=2时,求函数y=f(x)的图像在x=0处的切线方程（
2）判断函数f(x)的单调性
（3）若函数f(x)在(a,a+1)上位增函数，求a的取值范围

Answer 1

（1）a=2,f(x)=ln(x+1)+2x/(x+1)

f'(x)=1/(x+1)+[2(x+1)-2x]/(x+1)^2=1/(x+1)+2/(x+1)^2
f'(0)=1+2=3
f(0)=ln1+0=0
故切线方程是y-0=3(x-0)
即有y=3x
(2)f'(x)=1/(x+1)+a/(x+1)^2=[x+1+a]/(x+1)^2
f(x)的定义域为（-1，+∞)
当a≥0时，在x∈（-1，+∞)上，f'(x)>0，此时f(x)为单调增函数。
当a<0时，在x∈（-1，-1-a)上,f'(x)<0，此时f(x)为单调减函数，
在x∈（-1-a，+∞)上，f'(x)>0，此时f(x)为单调增函数。
(3)f(x)在(a,a+1)上为增函数，则有f'(x)在(a,a+1)上恒>0
即有y=x+1+a在(a,a+1)上恒>0
即有a+1+a>0
所以，范围是a>-1/2.

Answer 2

求导啊，基本就出来啦

Answer 3

好题