Question

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单...

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，f(x)＜9xx+1成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=1x+1+a
当a≥0时，1x+1+a＞0，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，1x+1+a＞0，函数在（-1，-1-1a）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-1a）
1x+1+a＜0，函数在（-1-1a，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-1a，+∞）；
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜9xx+1等价于ln（x+1）+x2-8xx+1＜0
令g（x）=ln（x+1）+x2-8xx+1，则g′（x）=x2+3x-7(x+1)2
∵x∈（0，5），∴函数在（0，-3+372）上单调递增，在（-3+372，5）上单调递减
∴g（x）max=ln（-3+372+1）+(-3+372)2-8•-3+372-3+372+1＜0
∴x∈（0，5）时，f(x)＜9xx+1成立．