Question

在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1垂直于 底面ABC，AB垂直于BC ，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3 （1）求证

Answer 1

1、∵侧棱aa1垂直底面abc，
∴三棱柱是直三棱柱，cc1⊥平面abc，
∵ac=3，bc=4，ab=5，
∴根据勾股定理逆定理，△abc是rt△，
∴〈acb=90°，
∴ac⊥bc，
∵cc1⊥平面abc，
ac∈平面abc，
∴ac⊥cc1，
∵cc1∩bc=c，
∴ac⊥平面bcc1，
∵bc1∈平面bcc1，
∴ac⊥bc1。
2、取a1b1中点e，连结ae、ce、de，
∵b1e=a1b1/2，
ad=ab/2，
ab=a1b1，
∴b1e=ad，
∵b1e//ad，
∴四边形adb1e是平行四边形，
∴ae//db1，
∵e、d分别是a1b1和ab的中点，
∴de//bb1//aa1，
且de=aa1，
∵aa1//cc1，
∴de//cc1，且de=cc1，
∴四边形cc1ed是平行四边形，
∴c1e//cd，
∵c1e∩ae=e，b1d∩dc=d，
∴平面aec1//平面db1c，
∵ac1∈平面aec1，
∴ac1//平面cdb1。

Answer 2

（1）证：连结BC1,B1C
设交点是E，
易知
E为B1C中点，而D是AC中点，所以DE平行于AB1，则AB1平行于平面BC1D
（2）
四棱锥
B-AA1C1D的体积=
三棱柱
ABC—A1B1C1体积-
三棱锥
C1-DBC体积