Question

一道物理题！救命！！！简谐波反射的问题~~

一平面简谐波沿X轴正向向一反射面入射，如图所示。入射波的振幅为A，周期为T，波长为λ，t=0时刻，在原点O处的质元由平衡位置向位移为正的方向运动。入射波在界面处发生全反射，反射波的振幅等于入射波振幅，而且反射点为波节。试求：1、入射波的波函数；2、反射波的波函数；3、入射波与反射波叠加而形成的合成波的波函数，并标出因叠加而静止的各点的坐标。

PS:O点到反射面的垂直距离为3/4λ

Answer 1

1),∵t=0时质元由平衡位置向正方向移动，∴设波函数为：f(x,t)=Asin[(2π/T)t-(2π/λ)x+φ]，其中f(x,t)表示x处质点在t时刻的位移。只需确定初项φ，∵v=ðf/ðt=(2π/T)Acos[(2π/T)t-(2π/λ)x+φ]，显然x=0,t=0时，f=0，v取最大值且为正，所以cosφ=1，sinφ=0，∴φ=2kπ，取最简便的相位k=0，φ=0
∴波的方程就是：f(x,t)=Asin[(2π/T)t-(2π/λ)x]
2)反射波：从新的初始位置开始计算的话，也就是从反射点开始计算，去向左为正方向，函数是：Asin[(2π/T)t-(2π/λ)x-π/2](计算和上面一样)
如果依然取原来的坐标系：
反射波的函数是：f2(x,t)=Asin[(2π/T)t+(2π/λ)x+φ]
由入射波在x处的初项，加上一个半波损失，可以得到：φ=0
∴反射波波函数：f2(x,t)=Asin[(2π/T)t+(2π/λ)x]
3)叠加自然就是把两个函数加起来：用三角函数中的公式sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
F=f+f2=2Asin[(2π/T)t]cos[(2π/λ)x]
这就是驻波的形成，时间项和空间项分开了，波形成了稳定的形状。
静止的点就是无论t=多少，位移F=f+f2≡0
∴只需：cos[(2π/λ)x]=0，x=λ/4,或x=3λ/4

Answer 2

1.入射波函数 y1=Acos[2pai(t/T -x/λ )+3pai/2];
2.反射波函数 y2=Acos[2pai(t/T -（D-x)/λ )+pai];
D=3/4λ
3.合成波函数 y=y1+y2= ( 把上面两个表达式用和差化积公式写成乘积的形式)
因叠加而静止的各点的坐标，就是令上面乘积的形式中与 x有关的项等于（2k+1）（pai/2）,解出x即可。