Question

请问谁会解这道高数题？已知e^z-xyz=0,利用全微分形式不变性求出z对x和z对y的偏导数

全微分的形式不变性 究竟是指什么？

Answer 1

两边对z微分
e^z dz - d（xyz）=0
=e^z dz - xydz - zd（xy）
=e^z dz - xydz - zxdy - zydx
所以，整理两边：

（e^z - xy）dz = zxdy + zydx
所以：dz = zx/（e^z - xy）dy + zy/（e^z - xy）dx
变成了全微分

则z对x：zx/（e^z - xy）
z对y：zy/（e^z - xy）

设y=f(u),u=g(x),如果u=g(x)对x可微，y=f(u)对相应的u可微，则y=f[g(x)]对x可微，为dy = f[g(x)]’dx = f’(u)g’(x)dx = f’(u)du可以知道，无论u是自变量还是别的自变量的可微函数，微分形式dy=f’(u)du保持不变。这就是一阶全微分的形式不变性。

Answer 2

方程两边对x求偏导，得e^z（dz/dx）-yz-xy（dz/dx）=0求出（dz/dx），由于这里不知道怎么把偏导数打出来，所以就用微分表达式了。
方程两边对y求偏导，得e^z（dz/dy）-xz-xy（dz/dy）=0求出（dz/dy），