Question

好心的朋友帮忙做一道数学建模的题吧，谢谢啊，感激不尽啊，

管道包扎问题

用宽度为0.3的带子缠绕包扎圆柱型管道，管道长30m，截面周长为0.5m。
（1）、如果用带子全部包住管道，最少要用多长的带子，请你给出计算这个最小长度的公式，并且依次计算出所需长度数值。
（2）、现有一条长度为51m的带子，想将这条带子全部用于缠绕包扎这个管道，可以使带子的接缝处重叠瘩接。请你给出用这条带子缠绕包扎这个管道的方案。（计算结果精确到0.001m）

Answer 1

(1) 由于是最少, 所以包扎时不可能有重叠, 注意到两边各有一条长三角形的带子会伸出来, 所以带子的总面积 = 管道侧面积 + 两个多余三角形的面积
又因为 管道侧面积 = 管道长 * 截面周长
多余三角形面积 = 1/2 * 带宽 * sqrt(截面周长 ^ 2 - 带宽 ^ 2)
//这里不解释了, 自己想想吧
然后把总面积除带宽就可得带长了
//为了下题需要我们算一下这时带子与管道截面的夹角a
a = arcsin (带宽/截面周长)

(2)我们引进一个新的思考方式: 每转一圈前进了多少米?
当不重叠时这个"速度"为 带宽 * cos(a)
而转一圈消耗掉的带长为 截面周长 / cos(a)
如此, 51 / 带长 = 30 / "速度"
联立以上式子可得出a的解, 由a又可以计算出重叠的宽度, 都是简单的东西就不做了

sqrt() 开平方, arcsin 反正切函数