Question

已知平行四边形ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形

Answer 1

证明:根据对角线相等的平行四边形是矩形
因为四边形abcd是平行四边形
所以ab=cd
因为ac=bd,bc=bc
所以三角形abc全等于三角形bcd
所以角abc=角bcd
因为四边形abcd是平行四边形
所以角abc+角bcd=180度
所以角abc=角bcd=90度
所以根据对角线相等的平行四边形是矩形
所以四边形abcd是平行四边形

Answer 2

为打字方便，以下形如AB的表示向量AB
由题目条件|AC|=|BD|
即|AB+BC|=|BC+CD|
由于ABCD为平行四边形，CD=BA=-AB
所以|AB+BC|=|BC-AB|
两边平方有(AB+BC)点乘(AB+BC)=(BC-AB)点乘(BC-AB)
展开立得AB点乘BC=0
这说明AB⊥BC
所以四边形ABCD是矩形