Question

已知a>b>c>d，求证：1/（a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>=9/(a-d)。

Answer 1

你题目中把
(c-d)
误打成
c-a
了
只需证明
（a-d)
[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]
>=
9
[1/(a-b)
+1/(b-c)
+1/(c-d)](a-d)
=[1/(a-b)
+1/(b-c)
+1/(c-d)](a-b+b-c+c-d)
=
[1
+
(b-c)/(a-b)
+
(c-d)/(a-b)]
+
[1
+
(a-b)/(b-c)
+
(c-d)/(b-c)]
+
[1
+
[(a-b)/(c-d)
+
(b-c)/(a-d)]
=
3
+
[(b-c)/(a-b)
+
(a-b)/(b-c)]
+
[(c-d)/(a-b)
+
(a-b)/(c-d)]
+
[(c-d)/(b-c)
+
(b-c)/(c-d)]
≥
3
+
2
+
2
+
2
=
9
所以
：
1/（a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)>=9/(a-d)
题目中用到了（x-y)^2≥0
所以
x^2
+
y^2
≥2xy
这一性质
例如
[(b-c)/(a-b)
+
(a-b)/(b-c)]
≥
2
√[(b-c)/(a-b)]
*
√[(a-b)/(b-c)]
=
2

Answer 2

用柯西不等式应该可以。
证明：因为a＞b＞c＞d,
所以要证正确只需证：(a-d)[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]≥9
,

又因为a-d=(a-b)+(a-c)+(c-b),9=(1+1+1）^2,
则(a-d)[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]＝[(a-b)+(a-c)+(c-b)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9.
即1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)。
备注：这里用到的是柯西不等式公式中的这个：(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
应用到此题，即为：[(a-b)+(a-c)+(b-c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥[(a-b)*1/(a+b)+(a-c)*1/(b+c)+(b-c）*1/(c+a)]^2≥(1+1+1)^2=9.
即即1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)≥9/(a-d)。