高数高手来。这个无穷级数怎么判敛！！！∑n从1到无穷 (e^n) * (n!)/(n^n)
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这个级数是发散的.
用到不等式(1+1/k)^k
<
e
(这是数列(1+1/n)^n单调性和收敛性的推论),
即(k+1)^(k+1)
<
e·k^k·(k+1).
对k从1到n-1相乘得n^n
<
e^(n-1)·n!,
因此e^n·n!/n^n
>
e,
级数通项不收敛到0.
注:
补充一个结论(Stirling公式):
n!
~
(n/e)^n·√(2πn).
虽然一般不能直接使用,
但用于估计n!判断证明方向是非常方便的.
对于本题可以知道通项与√(2πn)等价,
自然不可能收敛.
用到不等式(1+1/k)^k
<
e
(这是数列(1+1/n)^n单调性和收敛性的推论),
即(k+1)^(k+1)
<
e·k^k·(k+1).
对k从1到n-1相乘得n^n
<
e^(n-1)·n!,
因此e^n·n!/n^n
>
e,
级数通项不收敛到0.
注:
补充一个结论(Stirling公式):
n!
~
(n/e)^n·√(2πn).
虽然一般不能直接使用,
但用于估计n!判断证明方向是非常方便的.
对于本题可以知道通项与√(2πn)等价,
自然不可能收敛.
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