Question

定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=2的X次方/（4的X次方+1）

Answer 1

1）求f(1/2)
令x=1/2，代入(3)，得f(1/2)+f(1/2)=1，所以f(1/2)=1/2；
2）求f(1/5)
令x=0，代入(2)，得f(0)=1/2f(0)，所以f(0)=0；
令x=0，代入(3)，得f(0)+f(1)=1，所以f(1)=1；
令x=1，代入(2)，得f(1/5)=1/2f(1)，所以f(1/5)=1/2；
3）求f(1/15)
令x=1/5，代入(3)，得f(1/5)+f(4/5)=1，所以f(4/5)=1/2；
令x1=1/5、x2=1/3，代入(1)，得f(1/5)<=f(1/3)，所以f(1/3)>=1/2；
令x1=1/3、x2=4/5，代入(1)，得f(1/3)<=f(4/5)，所以f(1/3)<=1/2；
由f(1/3)>=1/2，且f(1/3)<=1/2，得f(1/3)=1/2；
令x=1/3，代入(2)，得f(1/15)=1/2f(1/3)，所以f(1/15)=1/4；
4）求最后结果
由f(1/2)=1/2、f(1/5)=1/2、f(1/15)=1/4，
得f(1/2)+f(1/5)+f(1/15)=1

Answer 2

1、当x∈（-1，0）时，
-x∈（0，1），那么f(x)=
-f(-x)=
-
2^(-x)/[4^(-x)+1]=
-
2^x/(4^x+1)
；

则f（x）=2^x/(4^x+1)
x∈[0,1)；

-
2^x/(4^x+1)
x∈（-1，0）；

2、单调递减；

设0<x1<x2<1,那么f(x2)-f(x1)=(2^x2-2^x1)[1-2^(x1+x2)]/(1+4^x1)(1+4^x2)<0；

其中2^x2-2^x1>0，1-2^(x1+x2)<0，(1+4^x1)(1+4^x2)>0；

即函数在（0，1）上单调递减；

Answer 3

1）因为是奇函数，所以f(0)=0，-1<x<0时，0<-x<1,所以f(-x)=(2^(-x))/(1+4^(-x))=(2^x)/(1+4^x)
因为f(-x)=-f(x),所以，f(x)=-(2^x)/(1+4^x)
,

综上所述，f(x)=-(2^x)/(1+4^x)
-1<x<0

(2^x)/(1+4^x)
0<x<1

0
x=0
2)单调递减
设0<a<b<1,则，f（a）-f(b)=(2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a)/(1+4^a)(1+4^b)
因为分母恒大于0，所以判断分子符号：2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^a*4^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^(a+b)*(2^b-2^a)=(2^b-2^a)*(2^(a+b)-1)
0<a<1,0<b<1,所以0<a+b,2^(a+b)>1,又2^a<2^b,所以f(a)-f(b)>0所以函数单调递减。