Question

如图，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的DE边上，连接AE,CG

Answer 1

解答：
∵∠adc=∠edg=90，∠edc是公共角，
∴∠ade=∠cdg，ad=cd，de=dg，
∴△ade≌△cdg，
∴ae=cg，∠aed=∠cgd，
设正方形abcd的边长=4，
由tan∠aeb=4，则be=1，
∴由勾股定理得：ae=√17，
∴ec=3，dc=4，∴由勾股定理得：ed=5，
过a点作de的垂线，垂足为h点，
由正方形abcd的面积关系得：
正方形abcd面积=△abe面积＋△ade面积＋△dce面积，
∴4²=½×4×1＋½×5×ah＋½×3×4，
解得：ah=16／5，
∴sin∠aeh=ah／ae=﹙16／5﹚／√17=16√17／85，
即sin∠cgd=16√17／85。

Answer 2

解：（1）答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）
（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．（10分）

Answer 3

答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）
（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．

Answer 4

解：（1）答：AE⊥GC；（1分）
证明：延长GC交AE于点H，
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2；（3分）
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°-（∠1+∠3）=180°-90°=90°，
∴AE⊥GC．（5分）
（2）答：成立；（6分）
证明：延长AE和GC相交于点H，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4；（8分）
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．（10分）
（其它证法可参照给分）