Question

如图,已知E是正方形ABCD的边BC上一点,以DE为边作正方形DEFG,连接AE、CG。我已经证到AE=CG，AE垂直CG，

且ADE≌CDG 若tan∠AEB=4 求sin∠CGD？图上传不了请各位自己画

Answer 1

解答：
∵∠ADC=∠EDG=90，∠EDC是公共角，
∴∠ADE=∠CDG，AD=CD，DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠AED=∠CGD，
设正方形ABCD的边长=4，
由tan∠AEB=4，则BE=1，
∴由勾股定理得：AE=√17，
∴EC=3，DC=4，∴由勾股定理得：ED=5，
过A点作DE的垂线，垂足为H点，
由正方形ABCD的面积关系得：
正方形ABCD面积=△ABE面积＋△ADE面积＋△DCE面积，
∴4²=½×4×1＋½×5×AH＋½×3×4，
解得：AH=16／5，
∴sin∠AEH=AH／AE=﹙16／5﹚／√17=16√17／85，
即sin∠CGD=16√17／85。

Answer 2

解：接着你的证
∵ADE≌CDG
∴∠CGD＝∠AED
∵tan∠AEB=4
∴AB／BE＝4／1
设AB＝4X,则BE＝X，EC＝3X,DC＝4X
∴有勾股定理求得
AE＝√17X, DE＝5X
∵S△ADE＝AD×AB／2＝8X²
S△ADE＝AE×DE×sin∠AED
＝﹙5X﹚﹙√17X﹚sin∠AED／2
∴﹙5X﹚﹙√17X﹚sin∠AED／2＝8X²
∴sin∠AED＝16√17／85
∴sin∠CGD=16√17／85

Answer 3

你已证的就不证了
tan∠AEB=4 则AB=4BE
过E作EH平行AB交AD于H
则AH=BE
DH=AD-AH=AB-BE=4BE-BE=3BE
DE²=DH²+EH²=9BE²+16BE²=25BE²
DE=5BE
sin∠CGD=sin∠ADE=EH/DE=4BE/5BE=4/5

Answer 4

（1）证明：∵四边形ABCD、GDEF为正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，
CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=DE ，
∴△CDG≌△ADE，（3分）
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．（5分）
（2）解：S△ACEG=S△ADG+S△ACD+S△GDE+S△CDE，
过G作GH⊥AD于H，过E作EM⊥CD的延长线于M．
则在Rt△GHD中，GH=DG•sin30°=2×1 2 =1，
∴S △ADG =1 2 AD•GH=1 2 ×3×1，
S △ACD =1 2 CD•AD=1 2 ×3×3=9 2 ，
S △GDE =1 2 DG•DE=1 2 ×2×2=2，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED•sin30°=2×1 2 =1，
S △CDE =1 2 CD•EM=1 2 ×3×1=3 2 ．
S△ACEG=S△ADG+S△ACD+S△GDE+S△CDE=9.5，（10分）
法2：设AE、CG相交于点O，过G作GH⊥CD交其延长线于H．
S四边形ACEG=S△ACG+S△CEG
=1 2 CG•AO+1 2 CG•EO
=1 2 CG(AO+EO)=1 2 CG•AE
=1 2 CG 2 ．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
则DH=1 2 DG=1，GH= 3 ，
∴CH=4．
Rt△CHG中，CG 2 =CH 2 +GH 2 =4 2 + 3 2 =19，
∴S 四边形ACEG =19 2 ．