Question

设3阶矩阵A=(第一行1,4,2,第二行0,-3,4,第三行0,4,3),求A^100

设矩阵A= 1,4 ,2 0,-3,4 0, 4,3 求A^100

Answer 1

|λE-A|=|λ-1
-4
-2|=(λ-1)|λ+3
-4|=(λ-1)(λ+5)(λ-5)
|0
λ+3
-4|
|-4
λ-3|
|0
-4
λ-3|
所以，A的特征值为1，-5，5.将它们分别代入方程组(λE-A)X=0中。当λ=1时，该方程组的系数矩阵为
0
-4
-2
0
2
1
0
4
-4
→
0
1
-1
0
-4
-2
0
0
0
所以，这时方程组的基础解系为(1,0,0)^T.
当λ=-5时，该方程组的系数矩阵为
-6
-4
-2
3
2
1
0
-2
-4
→
0
1
2
0
-4
-8
0
0
0
所以，这时方程组的基础解系为(1,-2,1)^T.
当λ=5时，该方程组的系数矩阵为
4
-4
-2
2
-2
-1
0
8
-4
→
0
2
-1
0
-4
2
0
0
0
所以，这时方程组的基础解系为(2,1,2)^T.
令P=1
1
2
则由于1
1
2
1
0
0
1
1
2
1
0
0
1
1
2
1
0
0
0
-2
1
0
-2
1
0
1
0
→
0
1
2
0
0
1
→
0
1
2
0
0
1
→
0
1
2
0
1
2
0
0
1
0
-2
1
0
1
0
0
0
5
0
1
2
1
1
0
1
-2/5
-4/5
1
0
0
1
0
-1
0
1
0
0
-2/5
1/5
→
0
1
0
0
-2/5
1/5
0
0
1
0
1/5
2/5
0
0
1
0
1/5
2/5
可知，P^-1=
5
0
-5
令B=1
0
0
1/5
0
-2
1
0
-5
0
0
1
2
0
0
5
由于P^-1AP=B,即A=PBP^-1，所以A^100=PB(P^-1P)B(P^-1P)B…………(P^-1P)BP^-1=PB^100P^-1=1
0
-1+5^100
0
5^100
0
0
0
5^100