Question

用相似矩阵的内容 3阶矩阵A为1 4 2 0 -3 4 0 4 3 求A^100

Answer 1

解: 

|A-λE| =

1-λ  4   2

0  -3-λ  4

0     4  3-λ

= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]

= (1-λ)[λ^2-25]

= (1-λ)(λ-5)(λ+5)

所以 A的特征值为 1,5,-5

A-E 用初等行变换化为

0              1              0

0              0              1

0              0              0

(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.

所以 A 的属于特征值1的全部特征向量为 k1(1,0,0)^T, k1为任意非零常数.

A-5E 用初等行变换化为

1              0             -1

0              1             -1/2

0              0              0

(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1/2,1)^T.

所以 A 的属于特征值5的全部特征向量为 k2(1,1/2,1)^T, k2为任意非零常数.

A+5E 用初等行变换化为

1              0             -1

0              1             0

0              0              0

(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T.

所以 A 的属于特征值-5的全部特征向量为 k3(1,-2,1)^T, k3为任意非零常数.

令P=(a1,a2,a3)=

1  1   1

0 1/2 -2

0  1   1

则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,5,-5)

所以 A=Pdiag(1,5,-5)P^-1.

故有 A^k = Pdiag(1,5,-5)^kP^-1 = Pdiag(1,5^k,(-5)^k)P^-1 = (1/5)*

5  2*5^k-2*(-5)^k  (-5)^k+4*5^k-5

0  4*(-5)^k + 5^k  2*5^k-2*(-5)^k

0  2*5^k-2*(-5)^k  (-5)^k+4*5^k

k=100 代入可得结果

扩展资料：

判断两个矩阵是否相似的辅助方法： 

（1）判断特征值是否相等；

（2）判断行列式是否相等；

（3）判断迹是否相等；

（4）判断秩是否相等。

以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。

（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

Answer 2

解: |A-λE| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 A的特征值为 1,5,-5

A-E 用初等行变换化为
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.
所以 A 的属于特征值1的全部特征向量为 k1(1,0,0)^T, k1为任意非零常数.

A-5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 -1/2
0 0 0
(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1/2,1)^T.
所以 A 的属于特征值5的全部特征向量为 k2(1,1/2,1)^T, k2为任意非零常数.

A+5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T.
所以 A 的属于特征值-5的全部特征向量为 k3(1,-2,1)^T, k3为任意非零常数.

令P=(a1,a2,a3)=
1 1 1
0 1/2 -2
0 1 1
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,5,-5)
所以 A=Pdiag(1,5,-5)P^-1.
故有 A^k = Pdiag(1,5,-5)^kP^-1 = Pdiag(1,5^k,(-5)^k)P^-1 = (1/5)*
5 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k-5
0 4*(-5)^k + 5^k 2*5^k-2*(-5)^k
0 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k

k=100 代入即得结论

Answer 3

`

│ 1 0 5^100-1 │
A^100 = │ 0 5^100 0 │
│ 0 0 5^100 │