Question

三重积分求Z=√(X^2+Y^2)与Z=6-X^2-Y^2围成的体积，做好有过程

Answer 1

立体体积可用三重积分表示，V=∫∫∫dxdydz，积分区域为z=6-x^2-y^2及z=√x^2十y^2所围成的立体，联立两曲面方程，解得z=2即两曲面的交接面。用截面法计算此三重积分，V=∫（0到2）dz∫∫dxdy十
∫（2到6）dz∫∫dxdy=π∫（0到2）z^2dz十
π∫（2到6）(6-z)dz=32π/3

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

两曲面方程联立，消去z，得x^2+y^2＝1，所以立体在xoy面上的投影区域是d：x^2+y^2≤1

进而整个空间区域在柱坐标系下表示为：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，ρ^2≤z≤ρ

体积v＝∫(0→2π)
dθ∫(0→1)
ρdρ∫(ρ^2→ρ)
dz＝2π∫(0→1)
ρ(ρ-ρ^2)dρ＝π/6