Question

有关三角函数值域问题函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏...

有关三角函数值域问题 函数f(x)=sinx/√(5+4cosx) (0≤x≤2∏)的值域是?答案是【-1/2,1/2】

Answer 1

我们令
y=sinx/√(5+4cosx)
,那么有
y^2=(sinx)^2/(5+4cosx)
=[1-(cosx)^2]/(5+4cosx),整理可得：(cosx)^2+4(y^2)cosx+5y^2-1=0
,显然这是一个关于变量
cosx
的一元二次方程.由题意,x∈[0,2π],即说明上面的一元二次方程有解
cosx
存在.再由解存在的判别定理得：Δ=b^2－4ac=16y^4－4(5y^2－1)≥0
,化简得：4y^4－5y^2+1≥0
,解不等式得：0≤y^2≤1/4
,或
y^2≥1
.因为1≤5+4cosx≤9
,而0≤(sinx)^2≤1
,并且
5+4cosx
和
(sinx)^2
不能同时等于1(为什么?自己想一想),所以应该舍去
y^2≥1
的情况.再由
0≤y^2≤1/4
进一步化简为：-1/2≤y≤1/2
,所以
f(x)=sinx/√(5+4cosx)
(0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2,1/2]之内.【请注意!这里并没有说函数的值域就是[-1/2,1/2]
,而是说包含于[-1/2,1/2]
,为什么?请从逻辑推理的角度想一想,这里的推理并不能保证函数的值域等于
[-1/2,1/2]
,推理只是告诉我们函数的取值不会超过
区间[-1/2,1/2]
.】下面证明函数的值域就是区间
[-1/2,1/2]
.证明：假设
Y
是区间
[-1/2,1/2]
中的任意一个数值,则方程
Z^2+4(Y^2)Z+5Y^2-1=0
有解,其中的一个解为
Z=
-2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1)
.再由
-1/2≤y≤1/2
,可以得到：0≤√(4Y^4－5Y^2+1)≤1
且
-1/2≤-2Y^2≤0
,所以-1/2≤-2Y^2+√(4Y^4－5Y^2+1)
≤1
,即-1/2≤Z≤1
.这说明存在满足0≤x≤2∏的实数
x
,使得
Z=cosx
.进而说明对于区间
[-1/2,1/2]
中的任意一个数值Y
,存在
cosx
（0≤x≤2∏)
,使得
Y=sinx/√(5+4cosx)
.所以有结论：区间
[-1/2,1/2]中的任何一个数都是函数f(x)=sinx/√(5+4cosx)
(0≤x≤2∏)值域中的值.结合前面的讨论【即
f(x)=sinx/√(5+4cosx)
(0≤x≤2∏)的值域一定包含于[-1/2,1/2]之内】可以知道,函数的值域就是区间
[-1/2,1/2]
.※※※※※※※※※※※备注：本题若是选择题,可以不用考虑后面的证明,虽然那样不严谨,但一般不会有错,考试嘛,不会考得太复杂.本题若是计算题,那后面的证明绝对不可少!