Question

已知F^5中的向量 X1=(1,2,3,4,5) X2=(1,-1,1,-1,1...

已知F^5中的向量 X1=(1,2,3,4,5) X2=(1,-1,1,-1,1) X3=(1,2,4,8,16)求一个齐次线性方程组,使X1 X2 X3组 的基础解系

Answer 1

设
X1,X2,X3
是齐次线性方程组
AX=0
的基础解系
则
A
的行向量与
X1,X2,X3
正交
设
X=(x1,x2,x3,x4,x5)^T
且
X1^TX
=
0,X2^TX
=
0,X3^TX
=
0
即有
x1+2x2+3x3+4x4+5x5
=
0
x1-
x2+
x3-
x4+
x5
=
0
x1+2x2+4x3+8x4+16x5
=
0
系数矩阵
1
2
3
4
5
1
-1
1
-1
1
1
2
4
8
16
r2-r1,r3-r1
1
2
3
4
5
0
-3
-2
-5
-4
0
0
1
4
11
-->
化为行最简形
1
0
0
-6
-16
0
1
0
-1
-6
0
0
1
4
11
得基础解系
b1=(6,1,-4,1,0)^T,b2=(16,6,11,0,1)^T
令A=
6
1
-4
1
0
16
6
11
0
1
则
X1,X2,X3
是齐次线性方程组
AX=0
的基础解系.