Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n =1- 1 2 a n (n∈ N * ) （Ⅰ）求数列{a n

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且 S n =1- 1 2 a n (n∈ N * ) （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知数列{b n }的通项公式b n =2n-1，记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，
a
1
=1-
1
2
a
1
，∴
a
1
=
2
3
．
当n≥2时，
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=1-
1
2
a
n
-1+
1
2
a
n-1
，
∴
3
2
a
n
=
1
2
a
n-1
，∴
a
n
a
n-1
=
1
3
∴数列{a
n
}是以
2
3
为首项，
1
3
为公比的等比数列
∴
a
n
=
2
3
×(
1
3
)
n-1
=
2
3
n
．…（6分）
（Ⅱ）∵
c
n
=(2n-1)?
2
3
n
，∴
T
n
=2[1×
1
3
+3×
1
3
2
+…+(2n-1)×
1
3
n
]
．①
∴
1
3
T
n
=2[1×
1
3
2
+3×
1
33
+…+(2n-1)×
1
3
n+1
]
．②
①-②，得
2
3
T
n
=2[
1
3
+
2
3
2
+…+
2
3
n
-(2n-1)×
1
3
n+1
]
．
∴
2
3
T
n
=2[
1
3
+2?
1
9
(1-
1
3
n-1
)
1-
1
3
-(2n-1)?
1
3
n+1
]
．
∴
T
n
=2-
2n+2
3
n
（n∈N
*
）．…（12分）