Question

二元函数重极限存在性问题，求解答？

问题是第一张图片里的重极限是否存在。这个问题之前我提问过一次，但没有得到我想要的答案
。有两位答主（L和A）回答了这个问题，首先感谢他们的回答，但是我觉得回答有些不妥，然后因为修改了两次，问题被封了，所以我重新提出了这个问题，希望能得到解答，如果我判断错误的话，希望我的错误能被指出。L答主给出了以y=kx的方式趋近于（+∞，+∞）的极限结果，然后判断极限是0，这应该是不对的。A答主的图贴在下面，通过将x与y的大小关系分成三类，来判断极限是0，我认为这也是不严谨的，这并没有刻画（x，y）趋近（+∞，+∞）的全部方式，还有可能以图3的方式趋近（+∞，+∞），在S答主的讨论里面就漏掉了。希望还有答主能给出回答，谢谢！
9.21号更新，我自己用ε-δ语言证出来了，谢谢大家。

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Answer 1

不是不能用这个不等式，是用了这个不等式之后，仍然无法求出极限。

令y=kx代入，求得的极限是k的函数，与k有关，k取不同值极限不同，所以极限不存在。

因为y=kx只是yx同时趋于零的一种特殊情况，极限存在要求，yx以任何方式趋于0，极限存在且相等才可。

例如：

|||得|f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在

当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的 所以不存在

而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2

所以|f|<=|x|+|y|

所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

扩展资料：

必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A.因此，如果P（x，y）以某一特殊方式。

例如：

沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。

参考资料来源：百度百科-二元函数

Answer 2

令动点(x，y)沿过原点的直线y=kx趋向∞; 分三种情况进行讨论：
①. 动点沿x轴趋向+∞,此时恒有y=0，k=0;
②. 动点沿y轴趋向+∞, 此时恒有 x=0，k=+∞；
③. 动点在第一象限内沿直线y=kx趋向+∞；此时(1+k)/√(1+k³)是某个常量(0<k<+∞)。
无论哪种情况，此极限都等于0;

Answer 3

就是一个设列等式，假设y=kx，详细过程如图rt所示……希望能帮到你解决你心中的问题

Answer 4

对于极限的问题, 一般不要在思维里预设"路径"这样的概念, 即使极限可以理解成是一个潜在的运动过程, 但运动完全可以是跳跃的, 所以取y=kx这样的做法肯定错误. 至于分三种情况讨论, 本身是可行的, 只不过是要抛弃运动轨迹这样的思维定式, 直接按定义去证明.
我再给你一种无需讨论的方法:
把(x^{3/2},y^{3/2})化到极坐标: x=(rcost)^{2/3}, y=(rsint)^{2/3}, 那么当x->+oo, y->+oo时r->+oo, 而(x+y)/(x^3+y^3)^{1/2}=r^{-1/3}((cost)^{2/3}+(sint)^{2/3})->0, 其中r^{-1/3}是无穷小量, ((cost)^{2/3}+(sint)^{2/3})是有界量.

Answer 5

以y=kx的方式趋近于（+∞，+∞）的极限结果，然后判断极限是0，通过将x与y的大小关系分成三类，来判断极限是0