Question

求函数f(x)=2√(x-1)-√(x-4)的值域

请给详细的过程。

Answer 1

求函数f(x)=2√(x-1)-√(x-4)的值域
解：要求值域，先要求定义域：很明显，定义域是[4，+∞）;
令f'(x)=1/√(x-1)-1/[2√(x-4)]=0，得2√(x-4)=√(x-1)；即有4(x-4)=x-1；故得驻点 x=5；
当4<x<5时f'(x)<0；当x>5时f'(x)>0；∴x=5是 极小点；极小值f(x)=f(5)=4-1=3；
x→+∞limf(x)=x→+∞lim[2√(x-1)-√(x-4)]=x→+∞lim{3x/[2√(x-1)+√(x-4)]}
=x→+∞lim{3(√x)/[2√(1-1/x)+1/√(1-4/x)]}=+∞;
∴值域为：3≦y<+∞

追问

多谢老师细致回答。
最后一步是否笔误了，应该是：
x→+∞lim{3(√x)/[2√(1-1/x)+√(1-4/x)]}=+∞
这样分母的极限为3，分子的极限为+∞。这个解法理解了。
您这个方法是高数的解法了。我记得高数中求最值是在极值点、函数端点、断点处产生，那么应再对比过f(4)>f(5)后，此解法就完整了。久未温习高数，错漏请指正。我用两次换元法和几何图形法解此题，包含极限运算故有些混乱

追答

最后一步没有笔误啊。x=5是唯一的极小点，因此无须再比较f(4)和f(5)的大小。

Answer 2

先求定义域，x大于等于4，x取4y最小，y大于等于2倍根号三。

追问

不对啊，这个函数在定义域内不单调。这个题目没有这么简单，用三角换元法法都很困难，不过我刚刚想到了一个两次换元的办法。您再看看有么有别的办法。
我刚算出来了，为y∈[3,+∞)。过程很麻烦，两次换元后还用上了几何法才搞出来。不过关于计算+∞的过程不太满意，结果没问题，但表述似乎不是很严密。

Answer 3

追问

感谢您的详细回答。
我看懂了您的解法。但希望掌握您的方法：导函数变形为分母恒非负，您是如何规划，这个操作有套路吗？
其次，函数最大值求解的表达式3/2*1/[(0-0)+(0-0))]的形式，似乎不可以直接得出f(x)→+∞的结果。这里似乎不完整。
另外。，答案中有一点小疏漏，导函数的x≠4