Question

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连...

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为-14． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为3r． （1）求圆M的方程； （2）当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设 P点的坐标为（x，y），
则kPA=yx+4，x≠-4，
kPB=yx-4，x≠4，
因为动点P与A、B连线的斜率之积为-14，所以yx+4•yx-4=-14，
化简得：x216+y24=1，
所以点P的轨迹方程为x216+y24=1（x≠±4）…（6分）
（Ⅱ）（1）由题意知：C（0，-2），A（-4，0），
所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，…（8分）
设M（a，2a+3）（a＞0），
则⊙M 的方程为（x-a）2+（y-2a-3）2=r2，
因为圆心M到y轴的距离d=a，由r2=d2+(3r2)2，得：a=r2，…（10分）
所以圆M的方程为(x-r2)2+(y-r-3)2=r2．…（11分）
（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，
当定直线l的斜率不存在时，不合题意，…（12分）
当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，
则|k×r2-3+b|1+k2=r对任意r＞0恒成立，
由|k×r2-r-3+b|=r1+k2，得：
（k2-1）2r2+（k-2）（b-3）r+（b-3）2=（1+k2）r2，…（14分）
所以(k2-1)2=1+k2(k-2)(b-3)=0(b-3)2=0，解得：k=0b=3或k=-43b=3，
所以存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切．…（16分）