Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0，0)，其导函数f'(x)...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0，0)，其导函数f'(x)=2x+1，当x∈[n，n+1](其中n∈N*)时，f(x)为整数的个数记为an. (1)求a，b，c的值; (2)求a1及数列{an}的通项公式; (3)令bn=1an•an+1，记{bn}的前n项和为Sn，求证:Sn＜110.

Answer 1

解答:解:(1)∵f(0)=c=0
∴c=0，
f′(x)=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
(2)当x∈[n，n+1](其中n∈N*)时，f(x)为整数的个数记为an.
∴a1=5，
∵f(x)在x∈[n，n+1]上单调递增，
∴an=f(n+1)-f(n)+1=2n+3.
(3)bn=
1
anan+1
=
1
2
(
1
2n+3
-
1
2n+5
)，
{bn}的前n项和
Sn=
1
2
(
1
5
-
1
7
+
1
7
-
1
9
+…+
1
2n+3
-
1
2n+5
)=
1
2
(
1
5
-
1
2n+5
)＜
1
10
.