Question

已知二项式(x^2-1/x)^n展开式中常数项为第五项,求n和第三项的系数

Answer 1

已知二项式(x^2-1/x)^n展开式中常数项为第五项
展开式中第五项为C(n,4)*(x^2)^(n-4)*(-1/x)^4
所以2(n-4)-4=0
故n=6
所以第三项是C(6,2)*(x^2)^4*(-1/x)^2=15x^6所以第三项的系数是15

Answer 2

第五项与第三项的二项式系数之比为14:3
即c(n,4):c(n,2)=14:3
∴3*c(n,4)=14*c(n,2)
∴3*n(n-1)(n-2)(n-3)/(4*3*2*1)=14n(n-1)/(2*1)
∴(n-2)(n-3)=8×7
∴n=10
二项式为(√x-1/x²)^10
通项
tr+1=c(10,r)(√x)^(10-r)(-1/x²)^r
=(-1)^rc(10,r)*x^(5-r/2)*x^(-2r)
=（-1)^r*c(10,r)x^(5-5r/2)
由5-5r/2=0得r=2
∴展开式的常数项为t3=(-1)^2*c(10,3)=120
希望能对你有所帮助，满意请采纳，不明请追问