Question

高数 洛必达法则 验证 极限

1.验证极限lim(x->无穷) (x+sinx)/x 存在，但不能用洛必达法则得出
2.验证极限lim(x->0) (x^2+sin1/x)/sin x 存在，但不能用洛必达法则得出
3.x^2+sin1/x的极限[x->0]
高数 洛必达法则 验证 极限
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1.验证极限lim(x->无穷) (x+sinx)/x 存在，但不能用洛必达法则得出
2.验证极限lim(x->0) (x^2 * sin1/x)/sin x 存在，但不能用洛必达法则得出
3.x^2*sin1/x的极限[x->0]

Answer 1

1.原式=lim(x->无穷)(1+sinx/x)
=lim(x->无穷)(1+0)
=1
说明：1/x为无穷小量，sinx为有界函数，定理：有界函数与无穷小量乘积是无穷小量。
2.原式=lim(x->0)[x/sinx*x+W]
=lim(x->0)[1*x+W]
=0+W
说明：定理：lim(x->0)x/sinx=1，
W无极限，W为有界函数sin1/x与无穷大量1/sinx的积，无极限值。
3.原式=0+有界函数，无极限。

Answer 2

1.原式=lim(x->无穷)(1+sinx/x)
=lim(x->无穷)(0+1)
=1
在x趋近无穷时1/x趋近于0，sinx/x在x趋近无穷时，其值是1
2.原式=lim(x->0)[x/sinx*x+w]
=lim(x->0)[1*x+w]
=w
定理：lim(x->0)x/sinx=1，

3.原式=0+有界函数，无极限。

Answer 3

x趋向于0，原式=lim(x/sinx）*（xsin1／x）=limxsin（1／x），
因为limx是无穷小，sin1／x有界，所以上式极限为0