Question

已知a>o,求函数y=(x^2+a+1)/根号（x^2+a）的最小值

Answer 1

解：换元。可设t=√(x²+a).易知，t∈[√a,+∞)，且y=(t²+1)/t=t+(1/t).===>y=t+(1/t).t∈[√a,+∞).由“对钩函数”的单调性可知，在（0,1]上，y递减，在（1，+∞）上，y递增。讨论如下：（1）当0<a≤1时，易知，ymin=y(1)=2,(2)当a>1时，ymin=y(√a)=(a√a+√a)/a.

Answer 2

以 sqrt 表示开根号

若 0<a≤1
y=(x^2+a+1)/sqrt(x^2+a)
=sqrt(x^2+a)+1/sqrt(x^2+a)
≥2 （由均值不等式得）
所以，最小值是2，当 sqrt(x^2+a)=1/sqrt(x^2+a),
x^2+a=1
x=±sqrt(1-a)
若 a>1
y=(x^2+a+1)/sqrt(x^2+a)
=sqrt(x^2+a)+1/sqrt(x^2+a)，
再令 u=sqrt(x^2+a) ，则 u≥sqrt(a)>1
y=u+1/u , u≥sqrt(a)
根据 f(x)=x+1/x的单调性知，
当 u=sqrt(a) 时，y取最小值,为
y=sqrt(a)+1/sqrt(a)

Answer 3

y=(x^2+a+1)/根号（x^2+a）=根号（x^2+a）+1/根号（x^2+a）
若 0<a≤1用均值不等式得最小值为2；
若 a>1根据函数图像得最小值为：根号a+1/根号a

Answer 4

令t=根号（x^2+a），则t>0，t^2=x^2+a，
所以y=（t^2+1）/t=t+1/t》2*t*1/t=2
所以y的最小值=2
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