Question

求两个定积分

Answer 1

∫<0, r>[-1/(1-p)^2 + 2/(1-p)^3]dp
= ∫<0, r>[1/(1-p)^2 - 2/(1-p)^3]d(1-p)
= [-1/(1-p) + 1/(1-p)^2]<0, r>
= -1/(1-r) + 1/(1-r)^2 + 1 - 1
= r/(1-r)^2

Answer 2

1、直接做估计即可。e^(-nx^2)<e^(-na^2)，
因此0<积分值<(b--a)e^(-na^2)，而lime^(-na^2)=0，
夹逼定理知道原极限是0。
2、万能代换tanx/2=t，x=2arctant，dx=2dt/(1+t^2)，
原积分=积分（从0到1）2dt/(1+t^2+e(1--t^2))
=2/(1--e)*积分（从0到1）dt/(t^2+a^2)a^2=(1+e)/(1--e)
=2/(1--e)/a*arctan(t/a)、上限1下限0，
后面自己算吧。

Answer 3

∫(0->r) -1/(1-p)^2 dp
=∫(0->r) d(1-p)/(1-p)^2
=-[1/(1-p)]|(0->r)
=1 -1/(1-r)
∫(0->r) 2/(1-p)^3 dp

=-∫(0->r) d(1-p)/(1-p)^3
=(1/2)[1/(1-p)^2]|(0->r)
=(1/2)[ 1/(1-r)^2 -1]

∫(0->r) [-1/(1-p)^2 + 2/(1-p)^3 ]dp
=∫(0->r) -1/(1-p)^2 dp +∫(0->r) 2/(1-p)^3 dp
=1 -1/(1-r) +(1/2)[ 1/(1-r)^2 -1]
=1/2 -1/(1-r) +(1/2)[ 1/(1-r)^2]

Answer 4

见图详解。