Question

对于两个定积分

问题一：对于两个定积分，如果被积函数的表达式相同,积分区域的面积也相同，这两个定积分一定相等吗？
问题二：对于两个定积分，如果被积函数的表达式相同,积分区域对称，这两个定积分一定相等吗？

Answer 1

首先纠正你，这不叫定积分，叫二重积分。
两个问题的答案都是否定的。
1、反例：∫∫xdxdy (1) 积分区域为：0<x<1，0<y<1，区域面积为1
(2) 积分区域为：1<x<2，1<y<2，区域面积为1
在这两个区域上积∫∫xdxdy，易得结果不同。

2、你表达不清，对称有很多方式，要分析是关于什么对称，常用的有关于原点对称、关于坐标轴对称、关于y=x对称，甚至可以关于某直线对称。不论是关于谁对称，这个结论都是不对的，我举一个关于y轴对称的例子。
反例：∫∫(x²+x)dxdy (1) 积分区域为：0<x<1，0<y<1；

(2) 积分区域为：-1<x<0，0<y<1
两个区域关于y轴对称，积分结果一定是不同的，因为被积函数是非奇非偶的，其中x²在这两个区域内的积分相同，x在这两个区域内的积分互为相反数，则 x²+x 在这两个区域的积分一定不同。

追问

谢谢呵呵，是我表达错了，不好意思，请问，“如果被积函数的表达式相同,积分区域关于y=x对称，这两个二重积分什么时候相等？”？

追答

当f(x,y)=f(y,x)时，积分相等。

Answer 2

积分区域面积，那就是二重积分了。
空间想象，假设表达式图像在空间上穿过原点，关于原点对称的话，那么，积分区域面积相同，几分结果可能正负但绝对值一样；几分区域对称的话也是一样的。

Answer 3

1.……
2.对称，怎么个对称法？？？