Question

和差化积公式怎么推导？

Answer 1

和差角公式推导过程：

在平面直角坐标系中，以x轴为始边，作角α、角β，分别记其终边单位向量为a、b，则使用坐标法表示这两个向量为a=(sinα,cosα)，b=(sinβ,cosβ)。
∵a·b=|a||b|cos，且a·b=sin α·sin β+cos α·cos β，且|a|=|b|=1。

∴cos=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。
用-β代替β，得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。
由诱导公式，得sin(α-β)=-cos[(α-β)+π/2]=-cos[(α+π/2)-β]=-[cos(α+π/2)·cosβ+sin(α+π/2)·sinβ]=-[-sinα·cosβ+cosα·sinβ]=sinα·cosβ-cosα·sinβ。

同理得sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。
tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)；同除cosα·cosβ，得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。

同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。