Question

为什么平面束方程能代表过直线的所有平面

Answer 1

所谓的平面束是指经过某一条直线的所有平面,假设该直线方程的一般式为方程组
Ax +By +Cz +D =0 ①
A1x+B1y+C1z+D1=0 ②
当我们构造Ax +By +Cz +D+k（A1x+B1y+C1z+D1）=0 ③ 时,会发现这个③是个平面方程
且原直线上的任一点坐标一定会同时满足①和②,那么它也就一定能满足方程③,故方程③一定过原直线.而且当③中的k取任意不同的实数时,③会表示任意不同的平面方程.综上可得：方程③能表示过原直线的所有平面（当然要注意一点：这个平面束其实并不包含平面②）
最完整的平面束方程是 k平面方程1+λ平面方程2=0 （其中k,λ不同时为0）
如本例就是 k（Ax +By +Cz +D）+λ（A1x+B1y+C1z+D1）=0 （k,λ不同时为0）
这样处理后,就能包含平面 ②了.但是由于多引入了一个参数λ,计算上会比较复杂.所以我们另可设Ax +By +Cz +D+k（A1x+B1y+C1z+D1）=0 ,再对平面②另作单独的讨论.
希望我的阐述能对你有帮助.