Question

在直角三角形ABC, ABC=90, P,Q为AC边上的两个动点,且AP=CQ求 AQ+BP 最小

Answer 1

∠ABC=90°，设BC=a,BA=c,则AC=√(a^2+c^2),
设AP=CQ=t,则AQ=√(a^2+c^2)-t,
由余弦定理，BP^2=c^2+t^2-2ct*c/√(a^2+c^2)
=c^2+t^2-2c^2t/√(a^2+c^2),
w=AQ+BP=√(a^2+c^2)-t+√[c^2+t^2-2c^2t/√(a^2+c^2)],
w'=-1+[t-c^2/√(a^2+c^2)]/√[c^2+t^2-2c^2t/√(a^2+c^2)]=0,
t-c^2/√(a^2+c^2)=√[c^2+t^2-2c^2t/√(a^2+c^2)],
平方得t^2-2c^2t/√(a^2+c^2)+c^4/(a^2+c^2)=c^2+t^2-2c^2t/√(a^2+c^2),
无解。
所以w是t的单调函数，
t=0时w=√(a^2+c^2)+c,
t=√(a^2+c^2)/2时w=AC=√(a^2+c^2).
所以所求的最小值是AC.