Question

三角形外角等于不相邻两个角的和

Answer 1

三角形外角等于不相邻两个角的和

三角形是初中数学中最基础的概念。对于数学系专业的同学来说，掌握三角形的性质不仅是学习高等数学中必不可少的一部分，而且也是数学研究的起点之一。在这里，我们要讲解的就是三角形的一个重要性质——“三角形外角等于不相邻两个角的和”。

定义外角与内角

在讲解三角形外角时，我们首先需要明确外角与内角的定义。一个三角形的三个内角是指三角形内部相邻的两条边所夹成的角度，而额外延长的这条边交于另外两条边所形成的角度就是三角形的外角。

由于三角形的内角已经有被讨论的性质了，那么我们在这里不再赘述。而三角形外角具有的性质相当重要，也相当有讲究，接下来我们将一步步进行探究。

三角形外角等于不相邻两个角的和的证明

在三角形中，我们可以将三个内角分别标记为角A、角B、角C，并且可以设三角形的外角为角D。有以下两种情况，可参考下图：

情况一中，通过观察，我们可以发现线段BE实质上是线段AC的延长线，也就是说，角B、角D和角C构成了三角形BED的内角。同理，我们可以得到三角形BDC和三角形AED的内角分别是角A、角D和角B，以及角A、角D和角C。因此，三角形ABC的外角D等于三角形BED的内角D、角B和角C的和，而这个求和便是：D = B + C。

情况二中，通过观察，我们可以将线段BD分解为线段AB和线段AC。因此，我们可以得到三角形ABC的外角D等于三角形ABD的内角D、角A和角B的和，而这个求和便是：D = A + B。

所以，无论是情况一还是情况二，我们都可以得到“三角形的外角等于不相邻的两个内角的和”的结论。

举例说明三角形外角等于不相邻两个角的和

我们可以通过一个具体实例来验证刚才得出的结论。

如图所示，我们可以将三角形ABC的内角分别标记为角A、角B、角C，三角形的外角为角D。

根据前面的推导，我们可以将角D视为三角形ABE的内角，因此可以得出如下计算步骤：

D = E + B（三角形ABE外角等于角B和角E的和）

由于ABDE是平行四边形，因此有：

E = C（平行四边形内角对顶角相等）

所以，可以得到：

D = B + C

这正好符合了前面所说的“三角形的外角等于不相邻的两个内角的和”的结论。

总结

在上文中，我们详细介绍了三角形外角等于不相邻两个角的和的定义以及证明过程。除此之外，我们也通过一个具体的实例来验证了这个结论的正确性。

对于初学者而言，掌握这个基础性质对于在学习三角形的其他性质及推导过程中具有的辅助作用非常显著，也更可以帮助提升整体数学掌握能力。

对于数学爱好者而言，看待这个简单的三角形外角性质的角度上述，不仅限于基础证明和实例演示，反而更是可以发现它的数学内蕴与更多的推广性。