Question

已知数列an中a1=1且a的n+1=2+an+n求an的通项公式

Answer 1

根据所给的递推式，可以通过逐步代入的方法找到数列an的通项公式。
首先，我们计算前几项的数值以寻找规律：
a1 = 1
a2 = 2 + a1 + 1 = 4
a3 = 2 + a2 + 2 = 8
a4 = 2 + a3 + 3 = 14
a5 = 2 + a4 + 4 = 22
观察前几项可以发现，数列an的通项公式可以表示为：
an = 2^2 + (2^2 - 1) + (2^2 - 2) + ... + (2^2 - (n - 1))
简化一下这个公式，可以得到：
an = 2^(n+1) - (n+1)
因此，根据这个推导，数列an的通项公式为：
an = 2^(n+1) - (n+1)
请注意，这个推导过程可能并不唯一，但得到的通项公式是相同的。
希望我的回答能给你帮助~

Answer 2

要找到数列an的通项公式，我们可以先观察数列的前几项，然后根据规律进行推导。

根据题目给出的递推关系，可以推导出数列的前几项如下：

a1 = 1
a2 = 2 + a1 + 1 = 4
a3 = 2 + a2 + 2 = 8
a4 = 2 + a3 + 3 = 14

从这些例子中我们可以观察到一些规律。首先，每一项的系数都是从1开始递增的。其次，每一项的值都是前一项的值与其索引n累加之和并加上2。

根据观察到的规律，我们可以猜测数列的通项公式为：

an = (n^2 + 3n + 2) / 2

为了验证我们的猜测，我们可以进行数学归纳法证明。

首先，当n=1时，an = (1^2 + 3*1 + 2) / 2 = 1，与题目中给出的初始条件a1=1一致。

接下来，假设当n=k时，an = (k^2 + 3k + 2) / 2 成立，即an满足给定的递推关系。

那么我们来验证当n=k+1时，an+1是否满足给定的递推关系：

an+1 = 2 + ak+1 + (k+1)
= 2 + ((k+1)^2 + 3(k+1) + 2) / 2 + (k+1)
= (k^2 + 5k + 6 + 2k + 1 + 2 + 2k + 2) / 2
= (k^2 + 3k + 2) / 2 + (k+1)^2 + 3(k+1) + 2
= ak + (k+1)^2 + 3(k+1) + 2

从推导过程中可以看出，an+1的表达式与ak的表达式只有在最后一项上存在差别，而这个差别正是因为an+1的索引是k+1的原因。

因此，由数学归纳法可知，an = (n^2 + 3n + 2) / 2 是数列的通项公式。