Question

已知a>0,b>0,c>0且abc=1,求证：1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)>=4

Answer 1

前面两个都不对，
有点儿难。

令A=1/a,B=1/b,C=1/c;A>0,B>0,C>0;
则ABC=1/(abc)=1;
1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)
=A+B+C+3/(1/A+1/B+1/C)
=A+B+C+3(ABC)/(BC+AC+AB)
=A+B+C+3/(AB+BC+AC)

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2*(AB+BC+AC)
因为：2*(A^2+B^2+C^2)≥2*(AB+AC+BC)
所以：3*(AB+AC+BC)≤(A+B+C)^2

所以：(A+B+C)+3/(AB+AC+BC)≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2
令x=A+B+C;
则原题化求：x+9/x^2,的最小值问题。
由于x=A+B+C≥3*(ABC)^(1/3)=3; 即x≥3,
设函数y(x)=x+9/x^2;(定义域x≥3)：
dy/dx=1-18/x^3;(x≥3);dy/dx≥1-18/27>0
所以函数y(x)=x+9/x^2的最小值在x=3时取得，
即y(x)≥y(3)=3+9/9=4;
所以
1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)
=A+B+C+3/(AB+BC+AC)
≥(A+B+C)+9/(A+B+C)^2
≥4；
当且仅当A+B+C=3时等号成立，即A=B=C=1或a=b=c=1,时等号成立。

Answer 2

主要利用不等式 a>0,b>0,c>0， a+b+c>=3倍根号下（abc） a=b=c时取 “=”

abc=1，

1/a+1/b+1/c=abc/a+abc/b+abc/c=bc+ac+ab>=3倍根号下（ab*ac*bc）=3
3/(a+b+c)>=3/3倍根号下（abc）=1
a=b=c=1/3时取等号
所以
1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)>=4

Answer 3

abc=1,则a=1/bc,b=1/ac,c=1/ab,
原式＝1/bc+ 1/ac+ 1/ab + 3/a+b+c
=[a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)+3abc]/（abc)(a+b+c)……通分，公分母是（abc)(a+b+c）
=[(a+b+c)(a+b+c)+3abc]/(abc)(a+b+c)
=a+b+c+3
因为a>0,b>0,c>0，所以，a+b+c>0，所以，a+b+c+3>3