Question

证明:ex-lnx>2

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证明:e^x-lnx>2

Answer 1

这题还真不是一般人能做出来的！
即证明e^(x+1)-ln(x+1）>2
根据麦克劳林展开式，当-1<x≤1时有，
e^(x+1)<e+x+x^2（取前三项）
ln（x+1）>x（取第一项）
根据放缩法有e^(x+1)-ln(x+1）-2>e+x+x^2-x-2=e+x^2-2>0
当x>1时，对函数y=e^x-lnx-2，求导
有e^x-1/x>e-1>0,故在1到正无穷大单调递增，最小值大于e-ln1-2=e-2，
证毕！
参考别人的回答：
解题思路：画图看到y=e^x，与y=lnx关于直线y=x对称。同时根据定义域有x>0
所以只需证明y=e^x高于直线y=x+1, 同时y=lnx低于y=x-1即可，这样距离肯定大于2了。
在这个思路下，可以把上面要证明的不等式e^x-lnx>2
变换为证明 e^x>x+1, lnx<x-1,
(此时有-lnx>1-x,那么 e^x+(-lnx)>x+1+(1-x), 为e^x-lnx>2 ）
在定义域x>0时，要证明e^x>x+1, lnx<x-1这两个式子很容易，用单调性即可
具体可以如下： 首先证明f(x)=e^x-x-1是单调递增的,
证明过程： 对f(x)求导数，那么f(x)'=e^x-1>0，说明单调递增
那么x=0时，f(x)=0,那么在x>0,f(x)>0，有e^x>x+1
其次证明lnx<x-1,
证明过程：在0<x<1时,f(x)=lnx-x+1的导数f(x)'=1/x-1>0,f(x)单调递增
x>1时，f(x)'=1/x-1<0,f(x)单调递减
那么f(x)=lnx-x+1有最大值，在x=1处，此时f(1)=0,
则有f(x)<0, 有lnx<x-1
综合上面结论，有 e^x+(-lnx)>x+1+(1-x), 即e^x-lnx>2

Answer 2

这题还真不是一般人能做出来的！
即证明e^(x+1)-ln(x+1）>2
根据麦克劳林展开式，当-1<x≤1时有，
e^(x+1)<e+x+x^2（取前三项）
ln（x+1）>x（取第一项）
根据放缩法有e^(x+1)-ln(x+1）-2>e+x+x^2-x-2=e+x^2-2>0
当x>1时，对函数y=e^x-lnx-2，求导
有e^x-1/x>e-1>0,故在1到正无穷大单调递增，最小值大于e-ln1-2=e-2，
证毕！
参考别人的回答：
解题思路：画图看到y=e^x，与y=lnx关于直线y=x对称。同时根据定义域有x>0
所以只需证明y=e^x高于直线y=x+1,
同时y=lnx低于y=x-1即可，这样距离肯定大于2了。
在这个思路下，可以把上面要证明的不等式e^x-lnx>2
变换为证明
e^x>x+1,
lnx<x-1,
(此时有-lnx>1-x,那么
e^x+(-lnx)>x+1+(1-x),
为e^x-lnx>2
）
在定义域x>0时，要证明e^x>x+1,
lnx<x-1这两个式子很容易，用单调性即可
具体可以如下：
首先证明f(x)=e^x-x-1是单调递增的,
证明过程：
对f(x)求导数，那么f(x)'=e^x-1>0，说明单调递增
那么x=0时，f(x)=0,那么在x>0,f(x)>0，有e^x>x+1
其次证明lnx<x-1,
证明过程：在0<x<1时,f(x)=lnx-x+1的导数f(x)'=1/x-1>0,f(x)单调递增
x>1时，f(x)'=1/x-1<0,f(x)单调递减
那么f(x)=lnx-x+1有最大值，在x=1处，此时f(1)=0,
则有f(x)<0,
有lnx<x-1
综合上面结论，有
e^x+(-lnx)>x+1+(1-x),
即e^x-lnx>2

Answer 3

这题还真不是一般人能做出来的！
即证明e^(x+1)-ln(x+1）>2
根据麦克劳林展开式，当-1<x≤1时有，
e^(x+1)<e+x+x^2（取前三项）
ln（x+1）>x（取第一项）
根据放缩法有e^(x+1)-ln(x+1）-2>e+x+x^2-x-2=e+x^2-2>0
当x>1时，对函数y=e^x-lnx-2，求导
有e^x-1/x>e-1>0,故在1到正无穷大单调递增，最小值大于e-ln1-2=e-2，
证毕！
参考别人的回答：
解题思路：画图看到y=e^x，与y=lnx关于直线y=x对称。同时根据定义域有x>0
所以只需证明y=e^x高于直线y=x+1,
同时y=lnx低于y=x-1即可，这样距离肯定大于2了。
在这个思路下，可以把上面要证明的不等式e^x-lnx>2
变换为证明
e^x>x+1,
lnx<x-1,
(此时有-lnx>1-x,那么
e^x+(-lnx)>x+1+(1-x),
为e^x-lnx>2
）
在定义域x>0时，要证明e^x>x+1,
lnx<x-1这两个式子很容易，用单调性即可
具体可以如下：
首先证明f(x)=e^x-x-1是单调递增的,
证明过程：
对f(x)求导数，那么f(x)'=e^x-1>0，说明单调递增
那么x=0时，f(x)=0,那么在x>0,f(x)>0，有e^x>x+1
其次证明lnx<x-1,
证明过程：在0<x<1时,f(x)=lnx-x+1的导数f(x)'=1/x-1>0,f(x)单调递增
x>1时，f(x)'=1/x-1<0,f(x)单调递减
那么f(x)=lnx-x+1有最大值，在x=1处，此时f(1)=0,
则有f(x)<0,
有lnx<x-1
综合上面结论，有
e^x+(-lnx)>x+1+(1-x),
即e^x-lnx>2