Question

高中数学关于函数的奇偶性和对称性的难题

原题：判断正误：f(x)为奇函数，则f(x-1)关于点(1,0)对称

我知道可以用画图来解决这道题，但关键是看下面的方法：
∵f(x)为奇函数
∴f(x)=-f(-x)
将x=x-1代如上式，得f(x-1)=-f(1-x)
即f(x-1)+f(1-x)=0
很明显，上式关于(0,0)对称！
请问这是为什么？！

补充：我研究了一下，说f(x-1)和-f(1-x)是两个函数说不通。
原题是正确的

Answer 1

你证明方法错了。
∵f(x)和f(x-1)不是同一个函数，
∵f(x)为奇函数
∴f(x)=-f(-x)，f(0)=0或无意义
令y1=f(x)，y2=f(x-1)，y1，y2不是同一个函数，原题要判断y2是否关于点(1,0)对称，
若关于点(1,0)对称，则满足①当x=1时y=0或y无意义，②f(1-x)=-f(1+x)，
对于y2=f(x-1)，当x=1时，y2=f(0)，满足①；
当x=1-x时，y2=f(x-1)=f(（1-x）-1)=f(-x)，
当x=1+x时，y2=f(x-1)=f(（1+x）-1)=f(x)，
由f(x)=-f(-x)，知对于y2，满足②，
则y2关于点(1,0)对称，

注：假设f(x)=x，则f(x-1)=x-1，f(x)和f(x-1)明显不是同一个函数。

Answer 2

大哥啊，奇函数关于原点对称，那么把图像向右平移一个单位，不就是（0，0）平移到（1，0）了吗，这个方法简单而且也是变相考察。你的最后几步理解错误。

Answer 3

你得到的等式只能用来说明f（x）关于（0,0）对称。关键是f(x-1)+f(1-x)=0中，自变量x-1和1-x是法则f( )的自变量，所以原式说明的是f（x）是奇函数

Answer 4

将x=x-1代如上式，得f(x-1)=-f(1-x)
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这一步似乎不能直接代入

Answer 5

画图就知道了，用一个图就可以说明了〔正弦函数〕，关于kл＋л／对称，任选一条对称轴，一目了然，同理，点对称也是一样，关于奇偶性，先看定义域是否关于原点对秤，否则非奇非偶，偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称。这些很基础的，课本上都有，你仔细研究研究，高中的函数问题要数形结合去理解，还有这些性质要灵活相互配合应用，方可快速解题，很高兴为你解答，希望对你有所帮助，不懂可追问