Question

大学数学证明题 对于任意两个正整数m和n，试证：m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数。

Answer 1

反证法，假设都不是3的倍数
因为m-n不是3的倍数，所以m、n除以3不同余
因为mn不是3的倍数，所以m、n均不是3的倍数，那么只有可能一个余1，一个余2
则此时m+n是3的倍数
与假设矛盾
故得证。

Answer 2

使用反证法
（1）假设m+n,m-n,mn三者都不是3的倍数，那么首先可以得到m和n均不是三的倍数，我们知道任何一个数模（%）3只可能有三种结果：0、1、2 ；则说明m和n模3只可能是1、2

（2）m+n不是3的倍数 则说明m和n模3只能同时为1或者同时为2，则设m=3k+1(k为任意非负整数)，n=3x+1(x为任意非负整数)或者是m=3k+2(k为任意非负整数)，n=3x+2(x为任意非负整数)

（3）取一组研究，可以以此类推：m=3k+1(k为任意非负整数)，n=3x+1(x为任意非负整数)，那么m-n=3(k-x) 则（m-n）模3必定为0，则m-n是3的倍数

所以，综合（1）（2）（3）得证 对于任意两个正整数m和n，试证：m+n,m-n,mn三者中至少有一个是三的倍数。