Question

请教一道高中数学题

在平面直角坐标系xoy中，已知以o为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m),(m∈R)恒有公共点，且要求使圆o的面积最小，
（1） 写出圆o的方程;
（2） 圆o与x轴相交于A,B两点，圆内动点p使|向量PA|、|向量PO|、|向量PB|成等比数列，求向量PA•向量PB的范围。

Answer 1

1)直线l:y=mx+(3-4m),(m∈R)过点C（4，3）
与l相切于点A的圆面积最小，r=CO=5
圆O方程：x^2+y^2=25

2)设P（x,y）x^2+y^2<25
|PO|:|PA|=|PB|:|PO| |PO|^2=|PA||PB|
PA=(-5-x,-y) PB=(5-x,-y)
PA*PB=x^2-25+y^2<0
|PA||PB|=√[(x+5)^2+y^2]*[(x-5)^2+y^2]=x^2+y^2
整理得：x^2-y^2=25/2
即圆内满足要求的点在双曲线x^2-y^2=25/2上
双曲线与圆的交点为：（±5√3/2，±5/2）
双曲线顶点为：（±5√2/2）
PA*PB=2x^2-75/2 x^2∈(25/2,75/4)
-25/2<PA*PB<0

Answer 2

先把M提出来，看直线过那个定点，然后点到直线的距离，用个均值不等式

Answer 3

直线横过定点（4,3)，原点与该点距离为5，圆与直线恒有公共点，即，半径大于或等于5
圆的面积最小，即，半径等于5
此时圆的方程为，x^2+y^2=25

该圆与X轴的交点为（-5,0）,(5,0)
圆内动点p使|向量PA|、|向量PO|、|向量PB|成等比数列
则|PO|^2=|PA||PB|
设P(x,y)
即x^2+y^2=根号[(x+5)^2+y^2]*[(x-5)^2+y^2]
整理得2x^2-2y^2=25,即圆内满足要求的点在双曲线x^2-y^2=25/2上
双曲线与圆的交点为：（±5√3/2，±5/2）
双曲线顶点为：（±5√2/2）
向量PA=(-5-x,-y),向量PB=（5-x,-y)
向量PA•向量PB=x^2+y^2-25=2x^2-75/2 x^2∈(25/2,75/4)
-25/2<PA*PB<0

Answer 4

(1)直线l:y=mx+(3-4m),转化为m(x-4)+(3-y)=0，知直线必过(4,3)

又以o为圆心的圆与直线l恒有公共点

知点(4,3)必在圆内或圆上，

又要求使圆o的面积最小，知(4,3)是圆上一点，半径r=5

方程为：x^2+y^2=25

(2) 圆o与x轴相交于A,B两点,知A(-5,0),B(5,0)

易知若P不与A、B重合，设P(x,y),则

|向量PA|=根号下[(x+5)^2+y^2]

|向量PO|=根号下[x^2+y^2]

|向量PB|=根号下[(x-5)^2+y^2]

又|向量PA|、|向量PO|、|向量PB|成等比数列

则x^2+y^2=根号下[(x+5)^2+y^2]*根号下[(x-5)^2+y^2]

去根号，整理得x^2-y^2=25/2

见图

Answer 5

(1)设圆方程为x^2+y^2=R^2
直线l: mx-y+(3-4m)=0，当x=4时，y=3，与m取值无关，直线l恒过点(4,3)
要保证以o为圆心的圆与直线l:y=mx+(3-4m),(m∈R)恒有公共点
则R^2=4^2+3^2>=25，∴最小圆方程为x^2+y^2=25
(2) ∵圆方程为x^2+y^2=25
则圆与X轴的交点为A（-5,0）,B(5,0)
设动点P(x,y)
∵|向量PA|、|向量PO|、|向量PB|成等比数列
向量PA=(-5-x,-y)，向量PB=(5-x,-y)
向量PA•向量PB =x^2-25+y^2 (1)
|向量PA|=根((-5-x)^2+y^2)
|向量PO|=根(x^2+y^2)
|向量PB|=根((5-x)^2+y^2)
则，|PO|^2=|PA||PB|
即x^2+y^2=根号(((5+x)^2+y^2)((5-x)^2+y^2))
(x^2+y^2)^2=((5+x)^2+y^2)((5-x)^2+y^2)
整理得x^2-y^2=25/2
将y^2= x^2-25/2代入(1)式
得，向量PA•向量PB =2x^2-75/2
即圆内满足要求的点在双曲线x^2-y^2=25/2上
双曲线与圆的交点为：（±5√3/2，±5/2）
双曲线顶点为：（±5√2/2）
则，x^2∈(25/2,75/4)
所以，-25/2<向量PA•向量PB <0