Question

高中数学，向量问题，请教高手

1、向量a=(2,-1),向量b=(x,x2-1),a与b的夹角为锐角，则x的取值范围是；（望写出计算过程）
2、已知向量a的模=2，向量b的模≠0,且关于x的方程x2+∣a∣x+a•b=0有实根，则向量a与向量b的夹角的取值范围是：（望写出过程）

3、已知平面上直线L的方向向量e=(-4/5,3/5)，点O（o,o）和A（1，-2）在L上的射影分别是O’和A’，则向量O’A’=re,其中r=?(望写出过程)

Answer 1

（1）1-根号2<x<1+根号2且x≠-1+根号2

a与b的夹角为锐角等价于a*b>0,且a,b不共线
知(2,-1)(x,x2-1)=2x-x^2+1>0,
即x^2-2x-1<0
解得1-根号2<x<1+根号2
又若a,b共线，有2x=1-x^2,即x=-1±根号2
综上1-根号2<x<1+根号2且x≠-1+根号2

（2）夹角属于[-π,π]

x2+∣a∣x+a•b=0有实根
判别式=|a|^2-4ab>=0
即1-2|b|cos夹角>0
cos夹角<1/2|b|
又1/2|b|属于(0,正无穷）
知cos夹角可取到[-1,1]所有值（如|b|=1/3,cos夹角<3/2即可)
知夹角属于[-π,π]
此题编的不好！

（3）r=-2

设向量所在直线方程为y=(-3/4)x，即3x+4y=0
O在线上
O’为（0,0）
A（1，-2）则到直线距离=5/5=1
又|OA|=根号5
由勾股定理知|O'A'|=2
又易知向量反向
知r=-2

Answer 2

1、由于a·b=|a||b|cos<a,b> 而|a|,|b|≥0恒成立

当<a,b>∈[0,π/2)时，cos<a,b>∈(0,1]

因而要使得<a,b>为锐角，只需a·b>0且a与b不共线即可

即-x2+2x+1＞0 且-x≠2x2-2即可
（第二个条件很重要 同向共线所成角为0° 不是锐角！！）

解得x∈(-√2+1，√2+1)且x≠（√17-1）/4

2、x2+∣a∣x+a•b=0有实根,|a|=2,则4-8|b|cos<a,b>≥0 而|b|≥0

cos<a,b>≤1/2|b| 当|b|>0时 cos<a,b>可以取遍(0,1]所有实数

0°≤θ＜90°

3、设O'(x1,y1) A'(x2,y2)

根据题意有OO'·e=0,AA'·e=0,O'A'‖e

即3y1=4x1,3y2+10=4x2,3(y2-y1)=4(x2-x1)

解得O'A'=(x1-x2,y1-y2)=(-8/5,-6/5)

所以r=-2

Answer 3

楼上的回答有都有错误
遥望---1,2两题错
李大为2的答案为[-π,π]向量的夹角根本不可有为负角，只能在[0,π]内
舞虾2答案是错的讨论的分界不对

哈哈哈

1.cos（a·b）=（-x²+2x+1）/（两向量长度积）
∵两向量长度恒正
∴只考虑-x²+2x+1的正负
∵cos（a·b）为正时 a与b的夹角为锐角
(这是不够的，它是锐角，不包括同向，一定要注意这一点，这类题关键就在这里)
∴只需-x²+2x+1＞0且2x^2-2≠2x
解得x∈(-√2+1，√2+1)且x≠（√17-1）/4

2.由已知得x²+2x+2bcosθ=0有实根
∴4-8∣b∣cosθ≥0
cosθ≤1/2|b|
(这里有问题：主要看1/2|b|是否能小于1 例它为2时， cosθ≤1/2|b|=2，它的夹角自然就是0≤θ≤π)
如果小于1，
2|b|≤1，则1/2|b| >=1
所以0≤θ≤π
2|b|>1
arccos(1/(2|b|))≤θ≤π

3.OA=(1，-2)
OA在e上的投影=-4/5+(-2)3/5=-2
显然|e|=1且与O’A’反向
r=-2

Answer 4

1.cos（a·b）=（-x²+2x+1）/（两向量长度积）
∵两向量长度恒正
∴只考虑-x²+2x+1的正负
∵cos（a·b）为正时 a与b的夹角为锐角
∴只需-x²+2x+1＞0 楼主请自己解方程吧
2.由已知得x²+2x+2bcosθ=0有实根
∴4-8∣b∣cosθ≥0
当∣b∣为+∞时 θ趋近于90°
∵向量夹角为0°~180°当∣b∣为0.5时θ为0°
所以 0°≤θ＜90°
3.设向量L方程为y=（-0.75）x
∵O在L上
∴O’为（o,o）
∵A（1，-2）到 L距离为1
∴O’A’=2
∵e=1
∴r=2

Answer 5

很简单，不过我也久而不习了