Question

求导数函数的最大值和最小值的应用

一、把长8cm，宽5cm的矩形铁皮的四角切去相等的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，角上折去的正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？

二、某商品每件60元，每星期卖出300件，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖10件，已知每件商品的成本为40元，如何定价才能使利润最大？

Answer 1

1, 设 正方形的边长 为 x
那么 V = ( 8-2x )* (5-2x) * x . ( 0<x< 5/2 )
= (8-2x) * (5x-2x^2)
V'= -2 * ( 5x-2x^2) + ( 8-2x) * (5-4x)
= -10x + 4x^2 + 40 -42x + 8x^2
= 12x^2 - 52x + 40
令 V'=0 ， 解得 x=1, ( x=20/6 舍去）
容易判断 x=1 时 V有最大值， 最大值为 18 立方厘米

2. 设 售价为 x, 每周销量为 y, 每周利润为P
易知 y= -10x +900 ( 40<x < 90)
P = y * ( x-40)
= ( -10x + 900 ) * ( x -40 )
P'= -10*(x-40) + ( -10x+900 )
= -10x + 400 -10x + 900
令 P'=0 , 20x=1300, x=65元
容易判断 x=65时 P有最大值
所以 应该定价为 65元。

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