Question

1、在ΔABC中，∠ACB=90度，AC=BC，直线MN经过点C，且AD垂直与MN于点D，BE垂直MN于点E。

在ΔABC中，∠ACB=90度，AC=BC，直线MN经过点C，且AD垂直与MN于点D，BE垂直MN于点E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图①时，DE=AD+BE 吗？说明理由。
（2）说明直线MN绕点C旋转到图②时，DE=AD-BE。
（3）当直线MN绕点C旋转到图③时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

Answer 1

分析: 本题以直线 MN 绕点 C 旋转过程中与 △ ABC 的不同的位置关系为背景设置的三个 小题,第(1)小题的两个小题中,①是②的台阶,只要证明了①,不难得到②;第(1)小 题思路又作为解决第(2)小题的借鉴;第(3)小题为探索性问题,探索的结论及证明过程可 借鉴第(1)(2)两小题,整个试题考查了同学们从具体,特殊的情形出发去探究运动变化 , 过程中的规律的能力.

证明: (1)① ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90 ,
∴ ∠CAD + ACD = 90 , ∠BCE + ∠ACD = 90 .
∴ ∠CAD = ∠BCE .
∵ AC = BC ,
∴ △ ACD ≌ △CBE ;
②∵ △ ADC ≌ △CED ,
∴ CE = AD , CD = BE .
∴ DE = CE + CD = AD + BE .

(2)∵ ∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90 ,
∴ ∠ACD = ∠CBE .
∵AC=BC ,
∴ △ ACD ≌ △CBE .
∴ CE = AD , CD = BE .
∴ DE = CE-CD = AD-BE .

( 3 ) 当 MN 旋 转 到 图3 的 位 置 时 ,
DE , AD , BE 满 足 的 等 量 关 系 是 DE = BE-AD (或 AD = BE-DE , BE = AD + DE 等) .
∵ ∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90度,
∴ ∠ACD = ∠CBE .
又∵ AC = BC ,
∴ △ ACD ≌ △CBE .
∴ AD = CE , CD = BE .
∴ DE = CD- CE = BE- AD .