Question

请问如何证明lim(n→∞)[n/(n2+n)+n/(n2+2n)+…+n/(n2+nn)]=1,谢谢！

以及请问如何证明lim(n→∞)[1/√(n2+1)+1/√(n2+2)…+1/√(n2+n)]=1
利用夹逼准则

Answer 1

Limit[1/√(n^2 + 1) + 1/√(n^2 + 2) + … + 1/√(n^2 + n), n→∞]
≥ Limit[1/√(n^2 + n) + 1/√(n^2 + n) + … + 1/√(n^2 + n), n→∞]
≥ Limit[n/√(n^2 + n), n→∞]
≥ Limit[1/√(1 + 1/n), n→∞]
≥ 1;

Limit[1/√(n^2 + 1) + 1/√(n^2 + 2) + … + 1/√(n^2 + n), n→∞]
≤ Limit[1/√(n^2 + 0) + 1/√(n^2 + 0) + … + 1/√(n^2 + 0), n→∞]
≤ Limit[n/√(n^2), n→∞]
≤ Limit[1, n→∞]
≤ 1

所以1≤Limit[1/√(n^2 + 1) + 1/√(n^2 + 2) + … + 1/√(n^2 + n), n→∞]≤1,
即Limit[1/√(n^2 + 1) + 1/√(n^2 + 2) + … + 1/√(n^2 + n), n→∞]=1

Answer 2

先将n约去，当n趋向无穷大时，1/(n+k)趋向1/n，故得。