Question

如图，等边三角形abc的边Bc 上的高为六，aD是bc边上的中线,M是aD上的动点，E是ac的中点

如图，等边三角形abc的边Bc
上的高为六，aD是bc边上的中线,M是aD上的动点，E是ac的中点。求Em加CM的最小值。

Answer 1

EM+CM最小值为6.

解:∵AD⊥BC,AB=AC.

∴BD=CD,即B和C关于直线AD对称,则BM=CM.

根据"两点之间,线段最短"可知,当点M为BE和AD交点时,EM+BM最小.

∵AB=BC,E为AC中点.

∴BE⊥AC,则EM+BM最小值为线段BE的长.

即EM+BM最小值为6.

故EM+CM的最小值也为6.

追问

谢谢

Answer 2

解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．取BE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴BE=AB-AE=6-2=4，∴BF=FE=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴CE=2DF，CE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴CE=2DF=4ME，∴CM=
3
4
CE．在直角△CDM中，CD=
1
2
BC=3，DM=
1
2
AD，CM=
CD2+MD2
=
3
7

2
，CE=
4
3
×
3
7

2
=2
7
，∵BM+ME=CE，∴BM+ME的最小值为2
7
．