Question

已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈[0,π/2]时,f(x)=sinx-cosx (1)求当x∈[5π/2, 3π] 时,

(1)求当x∈[5π/2, 3π] 时, f(x) 的解析式 （2）求不等式f(x)<0的解集

Answer 1

(1)
当x∈[5π/2, 3π] 时,

x-3π∈[-π/2,0]，
3π-x∈[0,π/2]
∵x∈[0,π/2]时,
f(x)=sinx-cosx
∴f(3π-x)
=sin(3π-x)-cos(3π-x)
=-sinx+cosx

∵f(x)是周期为π的周期函数

3π也是周期
∴f(x)=f(x-3π)
∵f(x)为偶函数
∴f(x-3π)=f(3π-x)

∴当x∈[5π/2, 3π] 时,
f(x) =-sinx+cosx

（2）
x∈[-π/2, 0] 时, -x∈[0,π/2]
f(x) =f(-x)=sin(-x)-cos(-x)
=-sinx-cosx

f(x)<0
即sinx+cosx>0
∵ cosx>0
∴sinx/cosx>-1
即tanx>-1
∴-π/4<x≤0

当x∈[0,π/2]时,
f(x)=sinx-cosx<0
∴tanx<1
∴0≤x<π/4

即当x∈[-π/2,π/2]时，
f(x)<0的解集为(-π/4,π/4)

根据函数的周期性，
f(x)<0的解集为
(-π/4+kπ,π/4+kπ),k∈Z