Question

如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、

AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE=3EF且DE=三分之四时，求FG的值第2小问是求值看清楚了

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，
即∠DAE=∠DCE，
在△AED和△CED中，

∠DAE＝∠DCE
∠AED＝∠CED
DE＝DE

，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；

（2）当AE=3EF时，FG=8EF．
证明：设EF=k，则AE=3k
∵△AED≌△CED，
∴CE=AE=3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠DAE，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴
EF
CE
＝
CE
EG
，
∴
k
3k
＝
3k
EG
，
∴EG=9k，
∴FG=EG-EF=8k，
∴FG=8EF．